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Experimentalphysik II für Physik-Studierende an der Universität zu Köln im Sommersemester 2013, Vorlesung M. Braden, N. Qureshi
Link zum Unterricht http://mathematik-physik-edv.de
Aufgabe 1 der Übung 1 im SS2013 (3 Punkte) Kräfte im Atomkern
Im Grundzustand des Wasserstoffatoms haben Elektron und Proton einen Abstand von etwa r= 5*10-11m. Die Masse des Protons ist mp= 1,67*10-27kg, die des Elektrons ist me= 9,11*10-31 kg, die Elementarladung ist e=1,60*10-19 C, die Gravitationskonstante ist G= 6,67*10-11Nm2kg-2 und die Dielektrizitäts konstante ist ε0= 8,85*10-12 C2N-1m-2.
a) Wie groß ist die elektrostatische Anziehungskraft zwischen Elektron und Proton?
Lösungshinweise
Formel zur Coulombkraft zwischen Ladungspunkten benutzen.
Ergebnis
b) Wie groß ist im Vergleich dazu die Gravitationskraft zwischen den beiden
Teilchen?
Lösungshinweise
Formel zur Gravitationskraft zwischen Massenpunkten benutzen.
Ergebnis
Aufgabe 2 der Übung 1 im SS2013 (8 Punkte) Millikan-Versuch
Millikan beobachtete feinste Öltröpfchen, die im Schwerefeld der Erde unter Einfluss der Stokesschen Reibung langsam sinken. Erzeugt man nun ein elektrisches Feld, so dass die Tröpfchen nicht mehr sinken, so kann man die auf den Tröpfchen sitzende Ladung bestimmen. (Zur Erinnerung: es muss die Stokessche Reibungskraft F= 6πηrv aufgewendet werden, um eine Kugel mit Radius r mit Geschwindigkeit v durch ein Medium mit Viskosität η zu ziehen.) Sei nun an einem Tröpfchen die Sinkgeschwindigkeit v= 0,3 m/s beobachtet worden. Dieses Tröpfchen kann durch ein elektrisches Feld von 16,7 V/m in der Schwebe gehalten werden.
a) Wie groß ist der Radius und die Masse des Öltröpfchens?
Wegen v= const und somit a= 0 ist die resultierende Kraft auf das Tröpfchen 0. Lösungshinweise
Folglich sind Gravitationskraft und Reibungskraft betraglich gleich groß. Hieraus berechnen sich Radius und Masse.
Ergebnis
b) Wieviele Elementarladungen sitzen auf dem Tropfen?
(Dichte des Öls: 0,9 g/cm3, ηLuft= 1,8*10-5 Ns/m2.)
Lösungshinweise
Wegen v= 0 und somit a= 0 ist die resultierende Kraft auf das Tröpfchen 0. Da diesmal die Reibungskraft 0 ist wegen v= 0, sind Gravitationskraft und elektrische Kraft q*E (Ladung mal elektrisches Feld) betraglich gleich zu setzen. Hieraus berechnet sich q, was als Vielfaches der Elementarladung e angegeben werden kann.
Ergebnis
Aufgabe 3 der Übung 1 im SS2013 (3 Punkte)
Richard Feynman behauptet in seinem Buch Lectures on Physics, dass die Abstoßungskraft zwischen zwei Personen, die jeweils 1% mehr Elektronen als Protonen besitzen und die sich auf eine Armlänge gegenüberstehen, ausreichen würde, die Masse der gesamten Erde mit g= 9,81 m/s2 zu beschleunigen.
Zeigen Sie mittels einer Überschlagsrechnung, dass diese Behauptung richtig ist.
Lösungshinweise
- Coulombkraft zwischen 2 derart elektrisch geladenen Personen mit Abstand Armlänge ausrechnen, hierfür Anzahl Atome im 75kg-Mensch bestimmen -Probe ob H-Atom OK oder vielleicht doch besser z.B. CH3COOH (Essigsäure) als Kompromiss-Molekül-, dann Protonenzahl bestimmen, davon 1% ist die angenommene (Überschuss-) Ladung des Menschen.
- Dann die erforderliche Kraft zur Beschleunigung der Erde per g aus Newtons Bewegungsgleichung bestimmen, also F= mErde*g
- Zum Schluss Vergleich
Ergebnis
Aufgabe 4 der Übung 1 im SS2013 (4 Punkte)
Zwei kleine Kugeln mit vernachlässigbarer Größe und jede mit der Masse m= 2,0 g sind mit Fäden vernachlässigbarer Masse und der Länge L= 1,0 m an einem gemeinsamen Punkt aufgehängt (siehe Abbildung).
a) Beide Kugeln tragen die Ladung Q= 60nC. Um welchen Winkel θ werden die Kugeln ausgelenkt?
b) Die eine Kugel trage jetzt die Ladung Q1= 40 nC und die andere die Ladung Q2= 90nC. Welche Auslenkungen treten jetzt auf?
Lösungshinweise
Aus der Geometrie der Kugel-Lage f olgt sin(θ)= d/2L mit Abstand d der Kugeln.
Aus dem Kräfteparallelogramm folgt: tan(θ)= FCoulomb/ FGravitation.
Der Versuch, durch Gleich- oder Einsetzen der beiden Terme auf den benötigten Ladungsabstand d zu schließen, führt zu algebraisch schwierigen Termen der Größenordnung d3. Die Kleinwinkel-Näherung sin(θ )= tan(θ) fόhrt zum Ziel.
Ergebnis
Aufgabe 5 der Übung 1 im SS2013 (3 Punkte)
Drei gleich große positive Ladungen Q1, Q2 und Q3 befinden sich an den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks der Seitenlänge a. Wie groß müsste eine negative Ladung im Mittelpunkt des Dreiecks sein, damit für jede Ladung Gleichgewicht der Kräfte bestünde? Wäre dieses Gebilde nach außen elektrisch neutral?
Lösungshinweise
Für die zentrale Ladung Q gilt in jedem Fall das Kräftegleichgewicht.
Betrachtung der durch Q, Q2 und Q3 erzeugten Coulombkräfte auf Q1 ergibt die erforderliche Kraft in Richtung Q und lässt somit aufgrund des Abstandes von Q zu Q1 auf die erforderliche Ladung Q schließen. Gleiche Überlegungen gelten auch für Bilanz der Coulombkräfte auf Q2 und Q3. Die Kräfte in den Ladungen Q1, Q2 und Q3 greifen anders als in Q nicht im 120°-Winkel an.
Ergebnis
Aufgabe 6 der Übung 1 im SS2013 (8 Punkte)
Zwischen zwei gleichen Punktladungen Q1 und Q1' im festen Abstand 2r ist eine weitere Punktladung Q2 mit der Masse M2 angebracht (siehe Abbildung). Q2 kann sich nur längs der Mittelsenkrechten bewegen.
a) Welche Vorzeichen müssen die drei Ladungen haben, damit die Lage von Q2 für Δx= 0 eine stabile Gleichgewichtslage ist (keine Rechnung)?
b) Bestimmen Sie die mechanische Schwingungsfrequenz von (Q2, M2) für eine harmonische Schwin gung kleiner Amplitude Δx.
Lösungshinweise
Eine harmonische Schwingung liegt vor, falls die Rückstellkraft linear proportional zur Auslenkung, hier x, ist. Deshalb muss für die Rückstellkomponente als Funktion der Auslenkung x eine lineare Näherung mittels Tangentengleichung angesetzt werden. Terme höherer Ordnung von x fallen somit weg, was durch den Hinweis nur kleiner Auslenkungen (die z.B. quadriert noch kleiner werden) gerechtfertigt ist.
Die Rückstellkraft berechnet sich als x-Komponente der Summe der Coulombkräfte auf Q2.
Diese Rückstellkraft ist die resultierende Kraft für die Newton-Bewegungsgleichung: F(Rückstell)= m*a(t)= m*x''(t) auf der X-Achse.
In der Rückstellkraft erscheint x(t), so dass eine Differenzialgleichung in x(t) und x''(t) zu lösen ist mit dem Ansatz der Art x(t)= x0*cos(ω*t),
wobei ω die Kreisfrequenz der Schwingung ist, aus welcher sich per f= ω/(2*π)
die gesuchte Schwingungsfrequenz bestimmt.
Lösung a)
Q1 und Q2 haben Ladung unterschiedlichen Vorzeichens, Vorzeichen von Q1 stimmt mit dem von Q1 überein, sonst würde keine resultierende Kraft auf Q2 wirken.
Lösung b)
Schritt 1: Berechnung der Coulombkräfte auf Q2.
Hinweis: Zur Verdeutlichung des rückstellenden Charakters der Coulombkräfte wird das laut a) negative Ergebnis durch das Minus-Rechenzeichen angezeigt. Q1 und Q2 sind also als Beträge anzusehen.
Die anziehende Coulombkraft von Q1 auf Q2 beträgt F21= -Q1*Q2/(4* π*ε0*d2) mit d2= r2+ x2, wobei x für das in der Aufgabenstellung benutzte Δx steht.
Schritt 2: Berechnung der x-Komponenten.
Für die x-Komponente F21x dieser Kraft gilt dann wegen ähnlicher Dreiecke laut Abbildung: x/d= F21x/F21 :
F21x= F21*x/d mit d= (r2+ x2)0,5. Einsetzen von F21 auf der rechten Seite liefert:
F21x= -Q1*Q2*x /(4*π*ε0*d3)= -(Q1*Q2/4*π*ε0)*(x/d3)= -(Q1*Q2/4*π*ε0)*x/(r2+ x2)1,5.
Somit ist F21x als Funktion von x dargestellt, also F21x(x).
Die anziehende Coulombkraft von Q1 auf Q2 liefert die gleiche x-Komponente, so dass auf Q2 insgesamt die x-Komponente F2x(x)= -(Q1*Q2/2*π*ε0)*x/(r2+ x2)1,5 wirkt.
Man erkennt, dass für x= 0 die in x-Richtung wirkende Kraftkomponente F2x(x) Null wird, wie es sein soll. F2x(x) stellt also die auf Q2 wirkende Rückstellkraft in x-Richtung dar.
Schritt 3: Linearisierung
Für x≠ 0 wird für F2x(x) eine lineare Näherung angesetzt, damit anschließend eine lineare Differenzialgleichung gelöst werden kann. Aus der Taylor-Reihe 1. Ordnung für f(x) um die Entwicklungsstelle x0 oder mit einer Geraden an die Kurve f(x) im Berührpunkt (x0/f(x0)) erhält man die Tangentengleichung
t(x)= f(x0)*(x- x0)+ f(x0).
Mit der hier verwendeten Rückstellkraft F2x(x) schreibt sich dies als:
FRück(x)= F2x(x0)*(x-x0)+ F2x(x0)
Mit x0= 0 bleibt die lineare Näherung von F2x(x) zur Rückstellkraft FRück(x):
FRück(x)= F2x(0)*x+ F2x(0), wobei F2x(0)= 0, wie zum Ende von Schritt 2 auch anschaulich einsehbar..
Mit der per Quotientenregel aufwändig erstellten Ableitungsfunktion
F2x(x)= -(Q1*Q2/2*π*ε0)*{1*(r2+ x2)1,5- x*1,5*(r2+ x2)0,5*2*x}/(r2+ x2)3
F2x(x)= -(Q1*Q2/2*π*ε0)*{(r2+ x2)1,5- (r2+ x2)0,5*3*x2}/(r2+ x2)3.
An der Entwicklungsstelle x0= 0 wird F2x(x) zu
F2x(0)= -(Q1*Q2/2*π*ε0)*{(r2+ 02)1,5- (r2+ 02)0,5*3*02}/(r2+ 02)3=
F2x(0)= -(Q1*Q2/2*π*ε0)*(r3/r6)= -(Q1*Q2/2*π*ε0*r3), was zu einer festen Zahl -α zusammengefasst sei.
Die lineare Näherung zu der Rückstellkraft in x-Richtung FRück(x) lautet also:
FRück (x)= -α*(x-0)+ 0= -α*x.
Schritt 4: Bewegungsgleichung
Diese Rückstellkraft führt zu einer Beschleunigung x(t) der Masse M2 in x-Richtung gemäß Newton-Bewegungsgleichung:
FRück(x)= M2*x(t), also
-α*x(t)= M 2*x(t) mit α= (Q1*Q2/2*π*ε0*r3) >0, da Q1, Q2 Beträge sind
Schritt 5: Lösen der Differenzialgleichung
Ansatz zur Lösung dieser homogenen linearen Differenzialgleichung zweiter Ordnung ist: x(t)= A*cos(ω*t)+ B*sin(ω*t)
(Bemerkung: Welche Funktionen sollten sich auch sonst bis auf Faktoren bei zweifachem Ableiten reproduzieren? Der versuchsweise Ansatz einer Exponentialfunktion führt zu komplexen Zahlen und somit auch wieder auf trigonometrische Funktionen.)
Die beiden Anteile sinus und cosinus können auch zu einer verschobenen cosinus-Funktion zusammengefasst werden wie folgt:
x(t)= xA *cos(ω*t-φ), wobei hier nur die Kreisfrequenz ω interessiert, Startamplitude xA und Phasenverschiebung φ folgen aus Anfangs- oder Randbedingungen.
Zweifaches Differenzieren nach der Zeit liefert:
x(t)= - ω2*xA*cos(ω*t-φ). Dies ergibt zusammen mit dem Ansatz x(t)= xA*cos(ω*t-φ) eingesetzt in die Differentialgleichung -α*x(t)= M2*x(t):
-α*x A*cos(ω*t-φ)= -ω2*M2*xA*cos(ω*t-φ). Teilen durch xA und Subtrahieren auf die linke Seite ergibt:
- α*cos(ω*t-φ)+ ω2*M2*cos(ω*t-φ)=0
Ausklammern liefert : cos(ω*t-φ)*(M 2*ω2- α)= 0
Damit diese Gleichung für alle Z eiten t gilt, ist offenbar ω= (α/M2)0,5.
Also: ω= (Q1*Q2/2*M2*π*ε0*r3)0,5
Division durch (2*π) ergibt dann die gesuchte Schwingungsfrequenz der mit Q 2 geladenen Punktmasse M2 auf der x-Achse zwischen den beiden gleich großen Ladungen Q1 und Q1 hindurch:
Ergebnis
f= (Q1*Q2/8*ε0*M2*π3*r3)0,5, wobei die betragsmäßig angegebenen Ladungen Q1 und Q2 unterschiedliche Vorzeichen haben.
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wird: (1-1%)-Konfidenzintervall=
mit Grundgesamtheitstandardabweichung σ und Grundgesamtheitvarianz V.
werden obige Funktionen zu:
und 
erhält man nach Positionierung einer Punktladung q in den Mittelpunkt einer Kugelfläche A und Nutzung der Symmetrie der Anordnung das elektrische Feld E der Punktladung q im Abstand r.
